Хват: правый
Воспитанник: Динамо (Москва)
Перешел из: Трактор
В «Спартаке»: 1 сезон (21/22)
Всего в КХЛ 303 игр
Воспитанник московского «Динамо». 27 июня 2009 года был выбран под общим 109-м номером на драфте НХЛ 2009 года командой «Монреаль Канадиенс». 1 июля 2009 года был задрафтован клубом Канадской хоккейной лиги «Квебек Ремпартс», но 15 октября 2009 года права перешли к «Жюниор де Монреаль». 26 сентября 2009 года Авцин дебютировал в Континентальной хоккейной лиге в матче против нижегородского «Торпедо» (1:2), проведя на площадке пять минут и 24 секунды. Первую шайбу в КХЛ забросил 11 декабря 2009 в матче против нижнекамского «Нефтехимика» (4:0). В сезоне 2009/10, в 30 матчах за московское «Динамо» нападающий набрал девять (3+6) очков.
2 июля 2010 года Авцин пришёл к взаимному согласию с «Динамо» Москва покинуть команду. Александр планировал отправиться в тренировочный лагерь «Монреаль Канадиенс» и если не закрепится в команде, то будет играть в фарм-клубе «Канадиенс» — «Гамильтон Булдогс» в Американской хоккейной лиге. 15 июля 2010 года он подписал начальный трёхлетний контракт с «Монреаль Канадиенс». В сезоне 2012/13, в его третий год в составе «Бульдогс», всего после 15 игр Авцин согласился расторгнуть оставшуюся часть своего контракта и 3 мая 2013 года стал свободным агентом. С 2010 по 2013 год Авцин провёл 136 матчей в АХЛ, в которых набрал 39 (13+26) очков.
20 июня 2013 года новокузнецкий «Металлург» приобрёл права на Авцина. Однако, 11 июня 2013 года в результате обмена на денежную компенсацию, он стал игроком ярославского «Локомотива». Проведя шесть матчей за «Локомотив», 27 ноября 2013 года перешёл в «Адмирал», за который он провёл лишь один матч. 16 января 2014 года заключил контракт с «Липецком», выступающим в Высшей хоккейной лиге.
27 июля 2014 года перешёл в пензенский «Дизель», подписав контракт на один сезон. В сезоне 2014/15 провёл за клуб 62 матча, в которых набрал 25 (17+8) очков. 1 мая 2015 года вернулся в московское «Динамо». В КХЛ за клуб провёл 19 матчей, набрав два (1+1) очка, также выступал за фарм-клуб балашихинское «Динамо» в ВХЛ, проведя 28 матчей и набрав 19 (8+11) очков. 10 октября 2016 года в результате обмена на денежную компенсацию перешёл в «Северсталь». В сезоне 2016/17 провёл за клуб 38 матчей и набрал 3 (2+1) очка.
19 июня 2017 года заключил однолетний контракт с «Нефтехимиком». 1 июня 2018 года продлил контракт с клубом ещё на один год. Всего выступал за «Нефтехимик» с 2017 по 2019 год, проведя в КХЛ 79 матчей, набрав 22 (14+8) очка. Также привлекался в фарм-клуб ЦСК ВВС в ВХЛ, проведя 30 матчей и набрав 15 (8+7) очков. 25 октября 2019 года заключил просмотровый контракт с челябинским «Трактором», а 8 ноября 2019 года заключил полноценный двусторонний контракт до конца сезона 2019/20. 29 мая 2020 года продлил контракт с челябинским клубом ещё на один сезон. Всего за «Трактор» провёл 94 матча и набрал 29 (11+18) очков. Также провёл два матча и набрал три (3+0) очка за «Челмет» в ВХЛ.
19 июня 2021 года подписал однолетний контракт с московским «Спартаком». В сезоне 2021/22 провёл 36 матчей, набрав четыре (1+3) очка. 30 апреля 2022 года покинул клуб в связи с истечением контракта. 5 мая 2022 года заключил контракт с подольским «Витязем».
